Q42 Matemática  (IMO Longlists 1977)

sequência $a_{n,k},k=1,2,3,\dots ,2^n,n=0,1,2,\dots ,$ é definida pela seguinte fórmula de recorrência: $$a_1=2,a_{n,k}=2a_{n-1,k}^3,,a_{n,k+2^{n-1}}=\frac{1}{2}{a}_{n-1,k}^3$$$$\text{for}k=1,2,3,\dots ,2^{n-1},n=0,1,2,\dots$$ Prove que o os números $a_{n,k}$ são todos diferentes.