Q41 Matemática  (IMO Longlists 1977)

Uma roda consiste em um disco circular fixo e um anel circular móvel. No disco estão marcados os números $1,2,3,\dots ,N$, e no anel estão marcados $N$ inteiros $a_1,a_2,\dots ,a_N$ de soma $1$. O anel pode ser transformado em $N$ diferentes posições nas quais os números no disco e no anel coincidem. Multiplique cada número no anel pelo número correspondente no disco e forme a soma dos produtos $N$. Desta forma, uma soma é obtida para cada posição do anel. Prove que as somas $N$ são diferentes.