Q19 Matemática  (IMO Longlists 1976)

Para um inteiro positivo $n$, seja $6^{(n)}$ o número natural cuja representação decimal consiste em $n$ dígitos $6$. Vamos definir, para todos os números naturais $m$, $k$ com $1\le k\le m$ $$\left[\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right]=\frac{6^{(m)}{6}^{(m-1)}\cdots 6^{(m-k+1)}}{6^{(1)}{6}^{(2)}\cdots 6^{(k)}}.$$ Prove que para todo $m,k$, $\left[\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right]$ é um número natural cuja representação decimal consiste exatamente em $k(m+k-1)-1$ dígitos.