Q34 Matemática  (IMO Longlists 1974)

Seja a um número real tal que $0<a<1$, e seja $n$ um inteiro positivo. Defina a sequência $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_n$ an recursivamente por $$a_0=a,a_{k+1}=a_k+\frac{1}{n}{a}_k^2\text{ for }k=0,1,\dots ,n-1.$$ Prove que existe um número real $A$, dependendo de $a$ mas independente de $n$, tal que $$0<n(A-a_n)<A^3.$$