Q15 Matemática  (IMO Longlists 1974)

Seja $ABC$ um triângulo. Prove que existe um ponto $D$ no lado $AB$ do triângulo $ABC$, tal que $CD$ é a média geométrica de $AD$ e $DB$, se o triângulo $ABC$ satisfaz a desigualdade $\mathrm{sen}A\mathrm{sen}B\le {\mathrm{sen}}^2\frac{C}{2}$. ComentárioFormulação alternativa, da IMO ShortList 1974, Finlândia 2: Consideramos um triângulo $ABC$. Prove que: $\mathrm{sen}(A)\mathrm{sen}(B)\le {\mathrm{sen}}^2\left(\frac{C}{2}\right)$ é uma condição necessária e suficiente para a existência de um ponto $D$ no segmento $AB$ de modo que $CD$ seja a média geométrica de $AD$ e $BD$.