Q35 Matemática  (IMO Longlists 1972)

$(a)$ Prove que para $a,b,c,d\in \mathbb{R},m\in [1,+\infty )$ com $am+b=-cm+d=m$, $$(i)\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{(ac{)}^2+(bd{)}^2}\ge \frac{4m^2}{1+m^2},\text{ e}$$ $$(ii)2\le \frac{4m^2}{1+m^2}<4.$$ $(b)$ Express $a,b,c,d$ como funções de $m$ para que haja igualdade em $(i).$