Q33 Matemática  (IMO Longlists 1972)

Um retângulo $ABCD$ é dado cujos lados têm comprimentos $3$ e $2n$, onde $n$ é um número natural. Denote por $U(n)$ o número de maneiras pelas quais se pode cortar o retângulo em retângulos de lado $1$ e $2$. $(a)$ Prove que $$U(n+1)+U(n-1)=4U(n);$$ $(b)$ Prove que $$U(n)=\frac{1}{2\sqrt{3}}[(\sqrt{3}+1)(2+\sqrt{3}{)}^n+(\sqrt{3}-1)(2-\sqrt{3}{)}^n].$$