Q19 Matemática  (IMO Longlists 1972)

Seja $S$ um subconjunto dos números reais com as seguintes propriedades: $(i)$ Se $x\in S$ e $y\in S$, então $x-y\in S$; $(ii)$ Se $x\in S$ e $y\in S$, então $xy\in S$; $(iii)$ $S$ contém um número excepcional $x^{\prime }$ tal que não há número $y$ em $S$ que satisfaça $x^{\prime }y+x^{\prime }+y=0$; $(iv)$ Se $x\in S$ e $x\ne x^{\prime }$ , existe um número $y$ em $S$ tal que $xy+x+y=0$. Mostre que $(a)$ $S$ contém mais de um número; $(b)$ $x^{\prime }\ne -1$ leva a uma contradição; $(c)$ $x\in S$ e $x\ne 0$ implica $1/x\in S$.