Q18 Matemática  (IMO Longlists 1972)

Temos jogadores $p$ participando de um torneio, cada jogador jogando contra todos os outros jogadores exatamente uma vez. Um ponto é marcado para cada vitória, e não há empates. Uma sequência de inteiros não negativos $s_1\le s_2\le s_3\le \cdots \le s_p$ é fornecida. Mostre que é possível que esta sequência seja um conjunto de pontuações finais dos jogadores no torneio se e somente se $$(i)\sum _{i=1}^p{s}_i=\frac{1}{2}p(p-1)$$ $$\text{and}$$ $$(ii)\text{ para todos }k<p,\sum _{i=1}^k{s}_{i}ge\frac{1}{2}k(k-1).$$