Q14 Matemática  (IMO Longlists 1972)

$(a)$ Um plano $\pi$ passa pelo vértice $O$ do tetraedro regular $OPQR$. Definimos $p,q,r$ como as distâncias com sinal de $P,Q,R$ de $\pi$ medidas ao longo de uma normal direcionada a $\pi$. Prove que $$p^2+q^2+r^2+(q-r{)}^2+(r-p{)}^2+(p-q{)}^2=2a^2,$$ onde $a$ é o comprimento de uma aresta de um tetraedro. $(b)$ Dados quatro planos paralelos nem todos coincidentes, mostre que existe um tetraedro regular com um vértice em cada plano. Nota: Parte $(b)$ é IMO 1972 Problema 6