Q41 Matemática  (IMO Longlists 1971)

Sejam $L_i,i=1,2,3$, segmentos de reta nos lados de um triângulo equilátero, um segmento de cada lado, com comprimentos $l_i,i=1,2,3$. Por $L_i^{\ast }$ denotamos o segmento de comprimento $l_i$ com seu ponto médio no ponto médio do lado correspondente do triângulo. Seja $M(L)$ o conjunto de pontos do plano cujas projeções ortogonais nos lados do triângulo estão em $L_1,L_2$ e $L_3$, respectivamente; $M(L^{\ast })$ é definido de forma correspondente. Prove que se $l_1\ge l_2+l_3$, temos que a área de $M(L)$ é menor ou igual à área de $M(L^{\ast })$.