Q37 Matemática  (IMO Longlists 1971)

Seja $S$ um círculo e $\alpha =\{A_1,\dots ,A_n\}$ uma família de arcos abertos em $S$. Seja $N(\alpha )=n$ o número de elementos em $\alpha$. Dizemos que $\alpha$ é uma cobertura de $S$ se ${\bigcup }_{k=1}^n{A}_k\supset S$. Sejam $\alpha =\{A_1,\dots ,A_n\}$ e $\beta =\{B_1,\dots ,B_m\}$ duas coberturas de $S$. Mostre que podemos escolher da família de todos os conjuntos $A_i\cap B_j,i=1,2,\dots ,n,j=1,2,\dots ,m,$ cobrindo $\gamma$ de $S$ tal que $N(\gamma )\le N(\alpha )+N(\beta )$.