Q33 Matemática  (IMO Longlists 1971)

Uma grade quadrada $2n\times 2n$ é dada. Vamos considerar todos os caminhos possíveis ao longo das linhas da grade, indo do centro da grade até a borda, de modo que (1) nenhum ponto da grade seja alcançado mais de uma vez, e (2) cada um dos quadrados homotéticos à grade tendo seu centro no centro da grade é passado apenas uma vez. (a) Prove que o número de todos esses caminhos é igual a $4{\prod }_{i=2}^n(16i-9)$. (b) Encontre o número de pares de tais caminhos que dividem a grade em duas figuras congruentes. (c) Quantos quádruplos de tais caminhos existem que dividem a grade em quatro partes congruentes?