Q32 Matemática  (IMO Longlists 1971)

Duas meias linhas $a$ e $b$, com o ponto final comum $O$, formam um ângulo agudo $\alpha$. Sejam $A$ em $a$ e $B$ em $b$ pontos tais que $OA=OB$, e seja $b$ a reta que passa por $A$ paralela a $b$. Seja $\beta$ o círculo de centro $B$ e raio $BO$. Construímos uma sequência de semi-retas $c_1,c_2,c_3,\dots$, todas dentro do ângulo $\alpha$, da seguinte maneira: (i) $c_i$ é dado arbitrariamente; (ii) para todo número natural $k$, o círculo $\beta$ intercepta em $c_k$ um segmento que tem o mesmo comprimento que o segmento cortado em $b^{\prime }$ por $a$ e $c_{k+1}$. Prove que o ângulo determinado pelas retas $c_k$ e $b$ tem um limite, pois $k$ tende ao infinito e encontre esse limite.