Q15 Matemática  (IMO Longlists 1971)

Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo cujas diagonais se interceptam em $O$ em um ângulo $\theta$. Vamos definir $OA=a,OB=b,OC=c$, e $OD=d,c>a>0$ e $d>b>0.$ Mostre que se existe um cone circular reto com vértice $V$, com as propriedades: (1) seu eixo passa por $O$, e (2) sua superfície curva passa por $A,B,C$ e $D,$ então $$O{V}^2=\frac{d^2{b}^2(c+a{)}^2-c^2{a}^2(d+b{)}^2}{ca(d-b{)}^2-db(c-a{)}^2}.$$ Mostrar também que se $\frac{c+a}{d+b}$ estiver entre $\frac{ca}{db}$ e $\sqrt{\frac{ca}{db}},$ e $\frac{ca}{db}=\frac{ca}{db},$ então para uma escolha adequada de $\theta$, existe um cone circular reto com propriedades (1) e (2).