Q45 Matemática (IMO Longlists 1970)

45 | IMO Longlists | 1970 | Matemática

Seja $M$ um ponto interior do tetraedro $V A BC$ . Denote por $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ os pontos de intersecção das linhas $M A, MB, MC$ com os planos $V BC, V C A, V A B$ , e por $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ os pontos de intersecção das linhas $V A_{1}, V B_{1}, V C_{1}$ com os lados $BC, C A, A B$ . (a) Prove que o volume do tetraedro $V A_{2} B_{2} C_{2}$ não excede um quarto do volume de $V A BC$ . (b) Calcule o volume do tetraedro $V_{1} A_{1} B_{1} C_{1}$ em função do volume de $V A BC$ , onde $V_{1}$ é o ponto de intersecção da reta $V M$ com o plano $A BC$ e $M$ é o baricentro de $V A BC$ .