Q41 Matemática  (IMO Longlists 1970)

Seja dado um cubo de lado $1$. Prove que existe um ponto $A$ na superfície $S$ do cubo tal que cada ponto de $S$ pode ser unido a $A$ por um caminho em $S$ de comprimento não superior a $2$. Prove também que existe um ponto de $S$ que não pode ser unido a $A$ por um caminho em $S$ de comprimento menor que $2$.