Q28 Matemática  (IMO Longlists 1970)

Um conjunto $G$ com elementos $u,v,w...$ é um Grupo se as seguintes condições forem satisfeitas: $(\text{i})$ Existe uma operação binária $\circ$ definida em $G$ tal que $\forall \{u,v\}\in G$ existe um $w\in G$ com $u\circ v=w$. $(\text{ii})$ Esta operação é associativa; ie $(u\circ v)\circ w=u\circ (v\circ w)$ $\forall \{u,v,w\}\in G$. $(\text{iii})$ $\forall \{u,v\}\in G$, existe um elemento $x\in G$ tal que $u\circ x=v$, e um elemento $y\in G$ tal que $y\circ u=v$. Seja $K$ um conjunto de todos os números reais maiores que $1$. Em $K$ é definida uma operação por $a\circ b=ab-\sqrt{(a^2-1)(b^2-1)}$. Prove que $K$ é um Grupo.