Q24 Matemática  (IMO Longlists 1969)

$(GBR1)$ O polinômio $P(x)=a_0{x}^k+a_1{x}^{k-1}+\cdots +a_k$, onde $a_0,\cdots ,a_k$ são inteiros, é divisível por um inteiro $m$ se $P(x)$ for um múltiplo de $m$ para todo valor integral de $x$. Mostre que se $P(x)$ é divisível por $m$, então $a_0\cdot k!$ é um múltiplo de $m$. Prove também que se $a,k,m$ são inteiros positivos tais que $ak!$ é um múltiplo de $m$, então um polinômio $P(x)$ com termo inicial $a{x}^k$ pode ser encontrado que é divisível por $m.$