Q22 Matemática  (IMO Longlists 1969)

$(FRA5)$ Seja $\alpha (n)$ o número de pares $(x,y)$ de inteiros tais que $x+y=n,0\le y\le x$, e seja $beta(n)$ é o número de triplos $(x,y,z)$ tal que $x+y+z=n$ e $0\le z\le y\le x.$ Encontre uma relação simples entre $alpha(n)$ e a parte inteira do número $\frac{n+2}{2}$ e a relação entre $\beta (n),\beta (n-3)$ e $\alpha (n).$ Então avalie $\beta (n)$ em função do resíduo de $n$ módulo $6$. O que pode ser dito sobre $\beta (n)$ e $1+\frac{n(n+6)}{12}$? E quanto a $\frac{(n+3{)}^2}{6}$? Encontre o número de triplos $(x,y,z)$ com a propriedade $x+y+z\le n,0\le z\le y\le x$ em função do resíduo de $n$ módulo $6.$ O que pode ser dito sobre a relação entre este número e o número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$?