Q19 Matemática  (IMO Longlists 1969)

$(FRA2)$ Seja $n$ um inteiro que não seja divisível por nenhum quadrado maior que $1.$ Denote por $x_m$ o último dígito do número $x^m$ no sistema numérico com base $n.$ Para quais inteiros $x$ é possível $x_m$ ser $0$? Prove que a sequência $x_m$ é periódica com período $t$ independente de $x.$ Para a qual $x$ temos $x_t=1$. Prove que se $m$ e $x$ são relativamente primos, então $0_m,1_m,...,(n-1{)}_m$ são números diferentes. Encontre o período mínimo $t$ em termos de $n$. Se n não atende à condição dada, prove que é possível ter $x_m=0\ne x_1$ e que a sequência é periódica começando apenas de algum número $k>1.$