Q14 Matemática  (IMO Longlists 1969)

$(CZS3)$ Sejam $a$ e $b$ dois números reais positivos. Se $x$ é uma solução real da equação $x^2+px+q=0$ com coeficientes reais $p$ e $q$ tais que $|p|\le a,|q|\le b,$ prova que $|x|\le \frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2+4b})$ Inversamente, se $x$ satisfaz a desigualdade acima, prove que existem números reais $p$ e $q$ com $|p|\le a,|q|\le b$ tal que $x$ é uma das raízes da equação $x^2+px+q=0.$