Q54 Matemática  (IMO Longlists 1967)

No plano existe um ponto $O$ e uma sequência de pontos $P_1,P_2,P_3,\dots$ é dada. As distâncias $O{P}_1,O{P}_2,O{P}_3,\dots$ são $r_1,r_2,r_3,\dots$ Seja $\alpha$ satisfaz $0<\alpha <1.$ Suponha que para cada $n$ a distância do ponto $P_n$ para qualquer outro ponto da sequência é $\ge r_n^{\alpha }.$ Determine o expoente $\beta$, tão grande quanto possível tal que para algum $C$ independente de $n$ $$r_{n}geqC{n}^{\beta },n=1,2,\dots$$