Q47 Matemática  (IMO Longlists 1967)

(i) Resolva a equação: $${\mathrm{sen}}^3(x)+{\mathrm{sen}}^3\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+{\mathrm{sen}}^3\left(\frac{4\pi }{3}+x\right)+\frac{3}{4}\cos 2x=0.$$ (ii) Supondo que as soluções estejam na forma de arcos $AB$ com uma extremidade em o ponto $A$, o início dos arcos do círculo trigonométrico, e $P$ um polígono regular inscrito no círculo com um vértice em $A$, encontre: 1) Os subconjuntos de arcos com a outra extremidade em $B$ em um dos vértices do dodecágono regular. 2) Prove que nenhuma solução pode ter a extremidade $B$ em um dos vértices do polígono $P$ cujo número de lados seja primo ou que tenha fatores diferentes de 2 ou 3.