Q36 Matemática  (IMO Longlists 1967)

Prove a identidade $$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\mathrm{tg}\frac{x}{2}\right)}^{2k}\left(1+frac{2}^k{\left(1-{\mathrm{tg}}^2\frac{x}{2}\right)}^k\right)={\sec }^{2n}\frac{x}{2}+se{c}^{n}x$$para qualquer número natural $n$ e qualquer ângulo $x.$