Q15 Matemática  (IMO Longlists 1967)

Suponha $\mathrm{tg}\alpha =\frac{p}{q}$, onde $p$ e $q$ são inteiros e $q\ne 0$. Prove que o número $\mathrm{tg}\beta$ para o qual $\mathrm{tg}2\beta =\mathrm{tg}3\alpha$ é racional somente quando $p^2+q^2$ é o quadrado de um inteiro.