Q4 Matemática  (IMO 2015)

triângulo $ABC$ tem circuncírculo $\Omega$ e circuncentro $O$. Um círculo $\Gamma$ com centro $A$ intercepta o segmento $BC$ nos pontos $D$ e $E$, de modo que $B$, $D$, $E$ e $C$ são todos diferentes e estão na linha $BC$ nesta ordem. Sejam $F$ e $G$ os pontos de intersecção de $\Gamma$ e $\Omega$, tais que $A$, $F$, $B$, $C$ e $G$ estejam em $Omega$ nesta ordem. Seja $K$ o segundo ponto de intersecção da circunferência do triângulo $BDF$ e o segmento $AB$. Seja $L$ o segundo ponto de intersecção da circunferência do triângulo $CGE$ e o segmento $CA$. Suponha que as linhas $FK$ e $GL$ sejam diferentes e se cruzem no ponto $X$. Prove que $X$ está na linha $AO$. Proposta pela Grécia