Q1 Matemática  (IMO 2015)

Dizemos que um conjunto finito $\mathcal{S}$ de pontos no plano está balanceado se, para quaisquer dois pontos diferentes $A$ e $B$ em $\mathcal{S}$, existe um ponto $C$ em $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$. Dizemos que $\mathcal{S}$ é livre de centro se para quaisquer três pontos diferentes $A$, $B$ e $C$ em $\mathcal{S}$, não há pontos $P$ em $mathcalS$ tal que $PA=PB=PC$. (a) Mostre que para todos os inteiros $n\ge 3$, existe um conjunto balanceado consistindo de $n$ pontos. (b) Determine todos os inteiros $n\ge 3$ para os quais existe um conjunto livre de centro balanceado consistindo de $n$ pontos. Proposto pela Holanda