Q6 Matemática  (IMO 2013)

Seja $n\ge 3$ um inteiro, e considere um círculo com $n+1$ pontos igualmente espaçados marcados nele. Considere todos os rótulos desses pontos com os números $0,1,...,n$ de modo que cada rótulo seja usado exatamente uma vez; dois desses rótulos são considerados iguais se um pode ser obtido do outro por uma rotação do círculo. Uma rotulação é chamada bonita se, para quaisquer quatro rótulos $a<b<c<d$ com $a+d=b+c$, o acorde que une os pontos rotulados $a$ e $d$ não intercepta o acorde que une os pontos rotulados $b$ e $c$. Seja $M$ o número de rótulos bonitos, e seja N o número de pares ordenados $(x,y)$ de inteiros positivos tais que $x+y\le n$ e $\gcd (x,y)=1$. Prove que $$M=N+1.$$