Q1 Matemática  (IMO 1997)

No plano, os pontos com coordenadas inteiras são os vértices dos quadrados unitários. Os quadrados são coloridos alternadamente em preto e branco (como em um tabuleiro de xadrez). Para qualquer par de inteiros positivos $m$ e $n$, considere um triângulo retângulo cujos vértices têm coordenadas inteiras e cujos catetos, de comprimentos $m$ e $n$, estão ao longo das arestas dos quadrados. Seja $S_1$ a área total da parte preta do triângulo e $S_2$ a área total da parte branca. Seja $f(m,n)=|S_1-S_2|$. a) Calcule $f(m,n)$ para todos os inteiros positivos $m$ e $n$ que são pares ou ímpares. b) Prove que $f(m,n)\le \frac{1}{2}\max \{m,n\}$ para todos $m$ e $n$. c) Mostre que não existe uma constante $C\in \mathbb{R}$ tal que $f(m,n)<C$ para todos os $m$ e $n$.