Q6 Matemática  (Mathematical Excellence Olympiad 2020)

Sejam $O$, $I$ e $\omega$ o circuncentro, o incentro e a circunferência do não equilátero $△ABC$. Seja ${\omega }_A$ o único círculo tangente a $AB$ e $AC$, tal que a corda comum de ${\omega }_A$ e $\omega$ passe pelo centro de ${\omega }_A$ . Seja $O_A$ o centro de ${\omega }_A$. Defina ${\omega }_B,O_B,{\omega }_C,O_C$ da mesma forma. Se $\omega$ toca $BC$, $CA$, $AB$ em $D$, $E$, $F$ respectivamente, prove que as perpendiculares de $D$, $E$, $F$ a $O_B{O}_C,O_C{O}_A,O_A{O}_B$ são concorrentes na linha $OI$. Pitchayut Saengrungkongka