Q5 Matemática  (Mathematical Excellence Olympiad 2020)

Para um inteiro positivo $n$ com fatoração primária $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$ vamos definir $\lambda (n)=(-1{)}^{alph{a}_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k}$. Defina $L(n)$ como a soma de $\lambda (x)$ sobre todos os inteiros de $1$ a $n$. Defina $K(n)$ como a soma de $\lambda (x)$ sobre todos os inteiros compostos de $1$ a $n$. Para alguns $N>1$, sabemos que para cada $2\le n\le N$, $L(n)\le 0$. Prove que para este $N$, para cada $2\le n\le N$, $K(n)\ge 0$. Mykhailo Shtandenko