Q4 Matemática  (IMC 2021)

Seja $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função. Suponha que para cada $\epsilon >0$ , exista uma função $g:\mathbb{R}\to (0,\infty )$ tal que para cada par $(x,y)$ de números reais, se $|xy|<\text{min}\{g(x),g(y)\}$, então $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ Prove que $f$ é o limite pontual de uma seqüência de funções $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ contínuas, ou seja, há uma seqüência $h_1,h_2,...,$ de $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que ${\lim }_{n\to \infty }{h}_n(x)=f(x)$ para cada $x\in \mathbb{R}$