Q7 Matemática  (IMC 2020)

Seja $G$ um grupo e $n\ge 2$ um inteiro. Sejam $H_1,H_2$ subgrupos $2$ de $G$ que satisfazem $$[G:H_1]=[G:H_2]=n\text{ e }[G:(H_1\cap H_2)]=n(n-1).$$Prove que $H_1,H_2$ são conjugados em $G.$ Definições oficiais: $[G:H]$ denota o índice do subgrupo de $H,$ ou seja, o número de cosets esquerdos distintos $xH$ de $H$ em $G.$ Os subgrupos $H_1,H_2$ são conjugados se existe $g\in G$ tal que $g^{-1}{H}_{1}g=H_2.$