Q10 Matemática  (IMC 2018)

Para $R>1$ seja ${\mathcal{D}}_R=\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2:0<a^2+b^2<R\}$. Calcular $$\underset{R\to \infty }{\lim }\sum _{(a,b)\in {\mathcal{D}}_R}\frac{(-1{)}^{a+b}}{a^2+b^2}.$$ Proposta por Rodrigo Angelo, Princeton University e Matheus Secco, PUC, Rio de Janeiro