Q5 Matemática  (IMC 2018)

Sejam $p$ e $q$ números primos com $p<q$. Suponha que em um polígono convexo $P_1,P_2,\dots ,P_{pq}$ todos os ângulos sejam iguais e os comprimentos dos lados sejam inteiros positivos distintos. Prove que $$P_1{P}_2+P_2{P}_3+\cdots +P_k{P}_{k+1}⩾\frac{k^3+k}{2}$$ vale para todo inteiro $k$ com $1⩽k⩽p$. Proposto por Ander Lamaison Vidarte, Berlin Mathematical School, Berlim