Q3 Matemática  (IMC 2017)

Para qualquer inteiro positivo $m$, denote por $P(m)$ o produto dos divisores positivos de $m$ (por exemplo, $P(6)=36$). Para cada inteiro positivo $n$ defina a sequência $$a_1(n)=n,a_{k+1}(n)=P(a_k(n))(k=1,2,\dots ,2016)$$Determine se para cada conjunto $S\subset \{1,2,\dots ,2017\}$, existe um inteiro positivo $n$ tal que a seguinte condição seja satisfeita: Para cada $k$ com $1\le k\le 2017$, o número $a_k(n)$ é um quadrado perfeito se e somente se $k\in S$.