Q2 Matemática  (IMC 2017)

Seja $f:\mathbb{R}\to (0,\infty )$ uma função diferencial, e suponha que exista uma constante $L>0$ tal que $$|f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y)|\le L|xy|$$para todos os $x,y$. Prove que $$(f^{\prime }(x){)}^2<2Lf(x)$$ vale para todos os $x$.