Q8 Matemática  (IMC 2016)

Seja $n$ um inteiro positivo, e denote por ${\mathbb{Z}}_n$ o anel de inteiros módulo $n$. Suponha que exista uma função $f:{\mathbb{Z}}_n\to {\mathbb{Z}}_n$ que satisfaça as três propriedades a seguir: (i) $f(x)\ne x$, (ii) $f(f(x))=x$, (iii) $f(f(f(x+1)+1)+1)=x$ para todos os $x\in {\mathbb{Z}}_n$. Prove que $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$. (Proposto por Ander Lamaison Vidarte, Berlin Mathematical School, Alemanha)