Q5 Matemática  (IMC 2016)

Seja $S_n$ o conjunto de permutações da sequência $(1,2,\dots ,n)$. Para cada permutação $\pi =({\pi }_1,\dots ,{\pi }_n)\in S_n$, seja $\mathrm{inv}(\pi )$ o número de pares $1\le i<j\le n$ com ${\pi }_i>{\pi }_j$; ou seja, o número de inversões em $\pi$. Denote por $f(n)$ o número de permutações $\pi \in S_n$ para as quais $\mathrm{inv}(\pi )$ é divisível por $n+1$. Prove que existem infinitos primos $p$ tais que $f(p-1)>\frac{(p-1)!}{p}$, e infinitos primos $p$ tais que $f(p-1)<\frac{(p-1)!}{p}$. (Proposto por Fedor Petrov, Universidade Estadual de São Petersburgo)