Q4 Matemática  (IMC 2016)

Sejam $n\ge k$ inteiros positivos, e seja $\mathcal{F}$ uma família de conjuntos finitos com as seguintes propriedades: (i) $\mathcal{F}$ contém pelo menos $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+1$ conjuntos distintos contendo exatamente $k$ elementos; (ii) para quaisquer dois conjuntos $A,B\in \mathcal{F}$, sua união $A\cup B$ também pertence a $\mathcal{F}$. Prove que $\mathcal{F}$ contém pelo menos três conjuntos com pelo menos $n$ elementos. (Proposto por Fedor Petrov, Universidade Estadual de São Petersburgo)