Q3 Matemática (IMC 2016)

03 | IMC | 2016 | Matemática

Seja $n$ um inteiro positivo. Sejam também $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ e $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ números reais tais que $a_{i} + b_{i} > 0$ for $i = 1, 2, \dots, n$ . Prove que $i = 1 \sum n \frac{a _{i} b _{i} - b _{i}^{2}}{a _{i} + b _{i}} \leq \frac{i = 1 \sum n a _{i} \cdot i = 1 \sum n b _{i} - ( i = 1 \sum n b _{i} ) ^{2}}{i = 1 \sum n ( a _{i} + b _{i} )}$ . (Proposto por Daniel Strzelecki, Nicolaus Copernicus University em Toruń, Polônia)