Q2 Matemática  (IMC 2016)

Sejam $k$ e $n$ inteiros positivos. Uma sequência $\left(A_1,\dots ,A_k\right)$ de $n\times n$ matrizes reais é preferida por Ivan, o Confessor, se $A_i^2\ne 0$ for $1\le i\le k$, mas $A_i{A}_j=0$ para $1\le i$, $j\le k$ com $i\ne j$. Mostre que $k\le n$ em todas as sequências preferidas e dê um exemplo de uma sequência preferida com $k=n$ para cada $n$. (Proposto por Fedor Petrov, Universidade Estadual de São Petersburgo)