Q1 Matemática  (IMC 2016)

Seja $f:\left[a,b\right]\to \mathbb{R}$ contínuo em $\left[a,b\right]$ e diferenciável em $\left(a,b\right)$. Suponha que $f$ tenha infinitos zeros, mas não exista $x\in \left(a,b\right)$ com $f(x)=f^{\prime }(x)=0$. (a) Prove que $f(a)f(b)=0$. (b) Dê um exemplo de tal função em $\left[0,1\right]$. (Proposto por Alexandr Bolbot, Universidade Estadual de Novosibirsk)