Q5 Matemática  (IMC 2014)

Seja $A_1{A}_2\dots A_{3n}$ uma linha quebrada fechada consistindo de $3n$ segmentos de linhas no plano euclidiano. Suponha que três de seus vértices não sejam colineares, e para cada índice $i=1,2,\dots ,3n$, o triângulo $A_i{A}_{i+1}{A}_{i+2}$ tem orientação anti-horária e $\angle A_i{A}_{i+1}{A}_{i+2}=60º$, usando a notação $A_{3n+1}=A_1$ e $A_{3n+2}=A_2$. Prove que o número de auto-interseções da linha quebrada é no máximo $\frac{3}{2}{n}^2-2n+1$