Q10 Matemática  (IMC 2012)

Seja $c\ge 1$ um número real. Seja $G$ um grupo abeliano e $A\subset G$ um conjunto finito que satisfaz $|A+A|\le c|A|$, onde $X+Y:=\{x+y|x\in X,y\in Y\}$ e $|Z|$ denotam a cardinalidade de $Z$. Prove que $$|\underset{k}{\underbrace{A+A+\cdots +A}}|\le c^k|A|$$ para cada inteiro positivo $k$. Proposto por Przemyslaw Mazur, Universidade Jagiellonian.