Q7 Matemática  (IMC 2012)

Defina a sequência $a_0,a_1,\dots$ indutivamente por $a_0=1$, $a_1=\frac{1}{2}$ e $$a_{n+1}=\frac{n{a}_n^2}{1+(n+1)a_n},\forall n\ge 1.$$ Mostre que a série $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{a_{k+1}}{a_k}$ converge e determina seu valor. Proposto por Christophe Debry, KU Leuven, Bélgica.