Q6 Matemática  (IMC 2012)

Considere um polinômio $$f(x)=x^{2012}+a_{2011}{x}^{2011}+\cdots +a_{1}x+a_0.$$ Albert Einstein e Homer Simpson estão jogando o seguinte jogo. Por sua vez, eles escolhem um dos coeficientes $a_0,a_1,\dots ,a_{2011}$ e atribuem um valor real a ele. Albert tem o primeiro movimento. Uma vez que um valor é atribuído a um coeficiente, ele não pode mais ser alterado. O jogo termina depois que todos os coeficientes tiverem valores atribuídos. O objetivo de Homer é tornar $f(x)$ divisível por um polinômio fixo $m(x)$ e o objetivo de Albert é evitar isso. (a) Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora se $m(x)=x-2012$? (b) Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora se $m(x)=x^2+1$? Proposto por Fedor Duzhin, Universidade Tecnológica de Nanyang.