Q1 Matemática  (IMC 2011)

Seja $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ uma função contínua. Um ponto $x$ é chamado de ponto sombra se existe um ponto $y\in \mathbb{R}$ com $y>x$ tal que $f(y)>f(x).$ Seja $a<b$ sejam números reais e suponha que $\bullet$ todos os pontos do intervalo aberto $I=(a,b)$ sejam pontos de sombra; $\bullet$ $a$ e $b$ não são pontos de sombra. Prove que a) $f(x)\le f(b)$ para todo $a<x<b;$ b) $f(a)=f(b).$ Proposto por José Luis Díaz-Barrero, Barcelona