Q9 Matemática  (IMC 2009)

Seja $p$ um número primo e $\mathbf{W}\subseteq {\mathbb{F}}_p[x]$ o menor conjunto que satisfaça o seguinte: (a) $x+1\in \mathbf{W}$ e $x^{p-2}+x^{p-3}+\cdots +x^2+2x+1\in \mathbf{W}$ (b) Para ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ em $mathbfW$, também temos $\gamma (x)\in \mathbf{W}$, onde $\gamma (x)$ é o resto $({\gamma }_1\circ {\gamma }_2)(x)(\mathrm{mod}{x}^{p}x)$. Quantos polinômios existem em $\mathbf{W}?$